1+2+2^2+…+2^63为什么等于2^64-1

传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏 ，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”。区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔。
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2’粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。

我们来算一算

S=1+2+2^2+2^+……+2^62+2^63

2S=2+2^2+2^+……+2^62+2^63+2^64

2S-S=
2+2^2+2^+……+2^62+2^63+2^64 - 1+2+2^2+2^+……+2^62+2^63
=2^64-1

则需2^64-1粒米

这是一个等比数列求和，S=a1(1-q^n)/(1-q) ,本题 a1=1 ,q=2 代入就得到
2^64-1